29. července 2020

Foucaultovo kyvadlo - Paříž (3), Kroměříž (1)

Pohyb kyvadla působí magickým dojmem, dovedu celé minuty pozorovat jeho srdce, jak se blíží bodu zvratu a v něm změní pohyb k protilehlé poloze, kde mu ale také dojdou síly a znovu vyhrává původní směr, aby to však vždy bylo jen na omezenou dobu.
Není divu, že Edgar Allan Poe mu v povídce Jáma a kyvadlo (The Pit and the Pendulum) přisoudil hlavní roli, a to dokonce vražedného nástroje. 

Uvažujeme-li zjednodušený případ matematického kyvadla, kdy hmotnost závěsu je zanedbatelná a veškerá hmotnost je soustředěna v srdci kyvadla, které si představujeme jako hmotný bod, a když dále neuvažujeme odpor vzduchu při pohybu kyvadla a tření v závěsu, počáteční výchylka z rovnovážné polohy je malá a sinus závislosti výchylky j na čase t lze tak aproximovat lineární funkcí (tj. sinj(t)»j(t)), pak pro kyvadlo s délkou závěsu l z 2. Newtonova pohybového zákona pro rotaci lze odvodit (to však vynechávám) pro periodu kmitů T vztah
kde p je Ludolfovo číslo přibližně rovné 3,14 a g je tíhové zrychlení, které pro Zemi má hodnotu přibližně 9,81 m/s2 (na různých místech Země se liší jen nepatrně o setiny), odtud tedy plyne, že doba kmitu závisí pouze na délce závěsu a hmotnost kyvadla na periodu kmitu nemá žádný vliv.

Pro velké výchylky kyvadla uvedený vztah pro periodu kmitu ale neplatí a protože odvození vede na eliptický integrál, který nelze sestavit z elementárních funkcí, v tomto případě přesné analytické řešení v uzavřeném tvaru neznáme.  
Kyvadlo však není perpetuum mobile, vlivem odporu vzduchu a tření v závěsu, které ve skutečnosti není nulové, pohyb kyvadla z vychýlené polohy by bez dodatečné energie postupně zmenšoval výchylku až do úplného zastavení. 

Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) využil kyvadlo k důkazu otáčení Země kolem své osy. V r. 1851 v pařížském Pantheonu, kde jsou pohřbeny významné osobnosti francouzské historie (např. spisovatelé a vědci), do kopule na 68 m dlouhém laně nad středem desky pokryté jemným pískem zavěsil kyvadlo s hmotností 28 kg, opatřené ve spodní části hrotem, který v písku kreslí stopu. 

Kyvadlo se pohybuje ve stále stejném směru vzhledem k hvězdám ve vesmíru, ale vůči Zemi rovinu kyvu mění, stopa v písku závisí na pootočení Země kolem své osy a zeměpisné šířce místa, kde je kyvadlo zavěšeno.
Úhel pootočení stopy hrotu kyvadla a je dán vztahem a=wt sinb, kde w je úhlová rychlost otáčení Země (360°/24 hod=15°/hod), t je čas a b zeměpisná šířka místa s kyvadlem. 
Zeměpisná šířka udává, na jaké rovnoběžce se místo nachází, to znamená, jaká je jeho úhlová vzdálenost od rovníku. Zeměpisná šířka rovníku je 0°, pro severní pól 90° (90° severní šířky) a pro jižní pól -90° (90° jižní šířky). Protože sin(0°)=0, na rovníku je a=0, a tedy stopa v písku je stále stejnou úsečkou, všude jinde se mění. Pro severní pól sin(90°)=1 a za 24 hod dojde k pootočení o 360° proti směru otáčení hodinových ručiček a pro jižní pól sin(-90°)=-1 se rovina kyvu otočí o 360° ve směru otáčení hodinových ručiček. V Pantheonu ve shodě s prvním vzorcem je perioda kmitu 16,5 sec a pro jeho zeměpisnou šířku 48,5° je sin(48,5°) přibližně roven 0,75, a tak k pootočení do stejné stopy jako v okamžiku spuštění kyvadla dojde vždy za přibližně 32 hod, za 1 hodinu se pootočí o 11°14’.    

Na následujícím snímku je vidět zlacená koule, představující srdce kyvadla, závěs je bohužel nezřetelný, stupnice na prstenci kolem středové desky umožňuje sledovat, jak se během dne mění pootočení stopy hrotu kyvadla. Druhá fotografie z většího odstupu ukazuje i kupoli. 


Slavný Foucaultův pokus lze jednoduše demonstrovat na laboratorním modelu kyvadla, které je upevněno na stole a kmitá nad rotujícím kruhem, simulujícím otáčení Země (anebo opačně kruh stojí a otáčí se stůl s kyvadlem). Stopa, kterou hrot zanechává, se liší podle toho, jestli je kyvadlo uvedeno do pohybu z vnější strany, anebo ze středu. V prvním případě hrot vykresluje hvězdicový vzor a v druhém případě květinový. 
Vše je vidět ve videu Katedry fyziky a astronomie Univerzity v Padově. 


A snad by se slušelo ukázat i klasicistickou budovu Pantheonu, kterou navrhl architekt Jacques-Germain Soufflot (1713-1780). 




Z pohřbených osobností alespoň Voltaire a náhrobky Victora Huga a Alexandra Dumase. 

Hugo jako jeden z mála byl pohřben přímo v Pantheonu, většinou byly ostatky uctívaných osobností sem přeneseny až mnoho let po jejich smrti, mezi nimi i architekt Soufflot a jako jediná žena Marie Curie-Sklodowská, která získala dvě Nobelovy ceny (za fyziku a chemii). 

A k Pantheonu úplně na závěr ještě pohled do interiéru na freskovou výzdobu.

Nejznámější konstrukcí Foucaultova kyvadla u nás je kyvadlo umístěné v barokní rotundě v Květné zahradě v Kroměříži. 

Rotundu postavil r. 1671 italsko-švýcarský architekt Giovanni Pietro Tencalla (1629-1702). Uprostřed ní je kamenný stůl pokrytý sklářským pískem a nad ním na 25 m dlouhé struně je zavěšeno 30 kg těžké srdce kyvadla. V r. 1908 jej zde instaloval profesor fyziky z kroměřížského gymnázia dr. František Nábělek.  


Protože zeměpisná šířka Kroměříže 49°18’ je podobná údaji pařížského Pantheonu, podobné jsou i časy pootočení, o 360° (a tedy do stejné stopy) se otočí za 31 hod 39 min a za jednu hodinu o 11°22’.

Aby rovina kyvu nebyla ovlivněna nevhodným spuštěním kyvadla, kyvadlo je ve výchozí poloze drženo lankem přivázaným ke sloupku a samo se spustí po přepálení lanka plamenem svíčky. 

Rotunda má bohatou výzdobu (sochy, fresky, obrazce na dlažbě, …) a je jí věnován výklad s průvodcem, ale to je již mimo téma textu, proto jen jeden záběr na strop s freskami.

Zámek se skvostnou galerií (je v ní i nejcennější obraz na našem území, Apollon trestá Marsya od Tiziana) a zahrady jsou od r. 1998 na seznamu UNESCO a zaslouží si samostatný článek.

P.S. Foucaultovo kyvadlo je také název druhého románu Umberta Eca (1932-2016), kde autor v historických událostech se snaží najít zákonitosti ve spiknutí tajemných řádů, které veškeré dění řídí podle Plánu.

29 komentářů:

  1. Tu je tolik vzorců, že by ti to stačilo na nějakou matematickou cenu! A Michel Foucault se obrací v hrobě, žes ho vynechal!

    OdpovědětSmazat
    Odpovědi
    1. Michel Foucault? To byl Jeanův bratr? :) Ale přiznám se, že o něm jsem neslyšel a musel ho najít Googlem.
      Se vzorci je tady potíž, protože jsem nevěděl, jak zapsat odmocninu, první jsem napsal v LATeXu a překopíroval ho jako obrázek, horní index zde také neumím, proto jsem využil TeXovskou konvenci a řecká písmena (alfa, beta, fí, omega, pí) vidím, že se na mobilu nahradila nesmyslnými znaky. Asi by bylo lepší všechno napsat v lepším editoru a naskenovat.

      Smazat
  2. Zrovna nedávno jsem byl v Kroměříži a proslulé kyvadlo tam konečně viděl... Ve fyzice mne na základce, jak si pamatuji, fsscinovsly pokusy s rezonanci kyvadel (a třeba i razostroj, který je na kyvadlové pohybu založen) a regulace hodin pomocí kyvadla..

    OdpovědětSmazat
    Odpovědi
    1. V Kroměříži jsem byl několikrát, ale kyvadlo viděl teprve minulý čtvrtek. Vždy jsem/jsme se kochal(i) zahradami.

      Smazat
  3. Já toužím Kroměříž poznat již dlouho, ale než kvůli kyvadlu, tak spíše kvůli nádherným zahradám :-)
    Paní profesorka Pecková, se kterou jsme bojovaly nerovně, by blahem bublala, že si čtu dobrovolně a bez nátlaku a jsou tam i vzorečky. :-)

    OdpovědětSmazat
    Odpovědi
    1. Zahrady Květnice a Štěpnice jsou opravdu nádherné, jen tebe možná zklame, že na skalky tam nemyslí :). I rotunda stojí za to, stejně většina výkladu se týká víc její výzdoby než kyvadla.
      A samozřejmě zámek s obrazárnou a v Kroměříži je také Muzeum Maxe Švabinského s reprezentativní sbírkou obrazů.

      Smazat
    2. Ano, a kyvadlo je prý pozlacené, je to vlastně trochu přerostlý šperk :).

      Smazat
  4. Odpovědi
    1. Knihu jsem také přečetl a mám ve své soukromé knihovně na čestném místě, před ní jsem však četl Ecovu prvotinu Jméno růže a ta mě tak nadchla, že Foucaultovo kyvadlo už pak bylo v jejím stínu. Ale obdivuji ty souvislosti, které autor v projevech templářského řádu nacházel. A také lituji, že nedostal Nobelovu cenu, zasloužil by si ji mnohem víc než většina laureátů z posledních 30 let.

      Smazat
    2. Umbero Eco napsal i mnoho dalších knih které stojí za přečtení. Mně se hodně líbil "Tajemný plamen královny Loany".

      Smazat
    3. Díky za tip. Od něj mám ještě Pražský hřbitov, ale ještě jsem ho nepřečetl.

      Smazat
  5. Když jsem učil na gymnáziu, dělali jsme taky pokus s velkým kyvadlem, zavěšeným u stropu vedle půdy a se závěsem dlouhým přes tři patra. Na pokus se po létech pamatují i ti, kteří si nejsou tak docela jisti, do které školy vlastně chodili :-).

    OdpovědětSmazat
    Odpovědi
    1. Přes 3 patra bude kolem 10 metrů, to by mělo být zmiňováno mezi příklady nejvýznamnějších konstrukci u nás. A zatím je tam ČVUT, UP v Olomouci, jedno brněnské gymnázium, ...

      Smazat
    2. Jak znám Petra, tak zvolil délku závěsu 9,81 m. Tím se vzoreček významně zjednodušil a délka periody kyvadla byla 2 pí sekund. Takový valčíkový rytmus vhodný pro Flynna Carsena při jeho honbě za kopím osudu. Rva-dva-tři, raz-dva-tři, ... Bohužel jsem na youtube nenašla ukázku ;-)

      Smazat
    3. To by se studentům dobře pamatovalo, zvlášť těm pohybově nadaným :).

      Smazat
    4. Takto fixní délkou závěsu bych si moc nepomohl, protože cílem pokusu bylo co nejpřesnější stanovení g (že je to 9,81, jak se píše v učebnici - to jsme odmítli uznat jako předpoklad :-)). My jsme jen využili možností, které nám školní budova nabízela, protože u půdy byl na stropě lustrhák po jakémsi dávno odstraněném světle a závěs kyvadla šel od toho háku u půdy středem schodiště až po snížené přízemí. Ale konstrukce to byla velmi přechodná: Jakmile zazvonilo, zmizela jako mávnutím kouzelného proutku :-).

      Smazat
    5. Aha, znali jste délku závěsu, na stopkách měřili dobu kyvu (či většího počtu kyvů pro větší přesnost určení T) a dopočítávali g.
      A vzhledem ke krátké existenci se ani nedostalo do seznamu :).

      Smazat
  6. Díky za skvělou exkurzi. Podobným stylem jsem viděla "malovat" obrazy...

    OdpovědětSmazat
    Odpovědi
    1. :) Pěkný nápad, změnou délky závěsu by vznikaly stále nové variace obrazců.

      Smazat
  7. Já myslím - a ty to sám píšeš - že Foucaultovo kyvadlo umí jen 2 obrázky: Hvězdici nebo květ. Změnou délky závěsu by měnila jen velikost "obrázku".

    OdpovědětSmazat
    Odpovědi
    1. ...by SE měnila ...
      Miloši, ty jsi zakázal, aby komentátor mohl smazat svůj komentář?
      Vím, kritizovala jsem, že mne ta funkce nenadchla (nechává po sobě info o smazaném komentáři), ale pořád to je funkce užitečná. Je to pokrok oproti funkcím na blog.cz. Tam nic takového nebylo.

      Smazat
    2. Ano, myslel jsem variace ve velikosti.
      Některý/á z blogerů/blogerek psal/a, že mazání komentářů je umožněno jen správci blogu, ale už ani nemám čas to blíž zkoumat, protože balím kufry na dost nejistou cestu.

      Smazat
    3. To byla Dorka. A psala, že smazání komentáře beze stopy je umožněno majiteli daného blogu. Jiný komentátor může komentář smazat, ale zůstane po mazání stopa.

      Nevím kam jedeš, ale radím ti, nejezdi nikam! Ohledně COVID-19 se nic nezměnilo, koronavir tu pořád je, jen mutuje a ti nejzranitelnější jedinci mu už podlehli.

      Smazat
    4. Přes problémy (nejdřív zrušení letenky a pak i první autobusové jízdenky, druhá naštěstí vydržela, přežili jsme i pasovou kontrolu mezi Německem a Švýcarskem) jsme nočním spojem zdárně dorazili. Ve Švýcarsku jsou lidé disciplinovaní, v MHD a ve vlacích nosí roušky, dodržují rozestupy, horší je to v Praze, kam snad doletíme, zpáteční letenka zatím platí.

      Smazat
  8. A to so tam všade bol NIĆ som nevedel-nevidel, prepadám sa od HAMBY
    NIVNICE.BLOGSPOT.COM

    OdpovědětSmazat
    Odpovědi
    1. Kingu, zdravím tě ze Švýcarska, jsme v Basileji a dnes jsme si udělali výlet do Bernu, mít příjmy na zdejší ceny, také bych si tady lebedil :).

      Smazat
  9. Přestože jsem na tvém blogu už dlouho nebyla, jsem ráda, že pokračuješ na novém. (Mimochodem, moc pěkný poslední článek!)
    A gratuluji k přenosu blogu! Vidím, že jsem poslední starej mohykán, totální technický antitalent a ňouma, které se přenos nezdařil a která tedy přenášela články postupně ručně. Už mám hotovo a budu zveřejňovat každý den postupně, leč nebudu mít takovej pěknej letitej archiv jako ostatní, protože všechno se bude zveřejňovat v roce 2020. Ale už moc kecám, zkrátka, tvou novou adresu si ukládám a určitě sem nahlédnu, čas od času!
    Jsem též na blogspotu, kde jsem si založila adresu podobně jako ty, už před nějakým časem, pro sichr.
    A jak vidno, ten sichr se vyplatil...
    Tak hodně štěstí na novém! Zdraví Vendy.

    OdpovědětSmazat
    Odpovědi
    1. Mně přenos textů provedl Marin Rybenský, ale pak jsem si už sám musel nanovo vložit obrázky, protože se načítaly z galerií Blog.cz, aktualizovat křížové odkazy uvnitř textů a konečně ladit šablonu.
      Když už texty budeš vkládat takovým náročným způsobem, můžeš alespoň opravit datum vložení na čas původního uložení na Blog.cz.
      Ale i tak se udělají chyby, třeba před chvílí jsem vložil nový článek a zapomněl uvést jeho název a blogspot si ho vzal z první věty, vznikl tak nesmyslný odkaz na článek, který (asi) nejde změnit jinak než celý článek smazat a vložit znovu. Ale za to mně to nestojí.

      Smazat

Aktuální článek

Covid-19 nechodí po horách, ale po lidech

Když na přelomu let 2019/2020 se objevily záběry z 11milionového čínského města Wu-chan (Wuhan) s lidmi, kteří se jak podťatí káceli k zemi,...

10 nejčastěji zobrazovaných článků