Foucaultovo kyvadlo - Paříž (3), Kroměříž (1)

Pohyb kyvadla působí magickým dojmem, dovedu celé minuty pozorovat jeho srdce, jak se blíží bodu zvratu a v něm změní pohyb k protilehlé poloze, kde mu ale také dojdou síly a znovu vyhrává původní směr, aby to však vždy bylo jen na omezenou dobu.

Není divu, že Edgar Allan Poe mu v povídce Jáma a kyvadlo (The Pit and the Pendulum) přisoudil hlavní roli, a to dokonce vražedného nástroje. 

Uvažujeme-li zjednodušený případ matematického kyvadla, kdy hmotnost závěsu je zanedbatelná a veškerá hmotnost je soustředěna v srdci kyvadla, které si představujeme jako hmotný bod, a když dále neuvažujeme odpor vzduchu při pohybu kyvadla a tření v závěsu, počáteční výchylka z rovnovážné polohy je malá a sinus závislosti výchylky j na čase t lze tak aproximovat lineární funkcí (tj. sinj(t)»j(t)), pak pro kyvadlo s délkou závěsu l z 2. Newtonova pohybového zákona pro rotaci lze odvodit (to však vynechávám) pro periodu kmitů T vztah

kde p je Ludolfovo číslo přibližně rovné 3,14 a g je tíhové zrychlení, které pro Zemi má hodnotu přibližně 9,81 m/s² (na různých místech Země se liší jen nepatrně o setiny), odtud tedy plyne, že doba kmitu závisí pouze na délce závěsu a hmotnost kyvadla na periodu kmitu nemá žádný vliv.

Pro velké výchylky kyvadla uvedený vztah pro periodu kmitu ale neplatí a protože odvození vede na eliptický integrál, který nelze sestavit z elementárních funkcí, v tomto případě přesné analytické řešení v uzavřeném tvaru neznáme.  

Kyvadlo však není perpetuum mobile, vlivem odporu vzduchu a tření v závěsu, které ve skutečnosti není nulové, pohyb kyvadla z vychýlené polohy by bez dodatečné energie postupně zmenšoval výchylku až do úplného zastavení. 

Jean Bernard Léon Foucault (1819-1868) využil kyvadlo k důkazu otáčení Země kolem své osy. V r. 1851 v pařížském Pantheonu, kde jsou pohřbeny významné osobnosti francouzské historie (např. spisovatelé a vědci), do kopule na 68 m dlouhém laně nad středem desky pokryté jemným pískem zavěsil kyvadlo s hmotností 28 kg, opatřené ve spodní části hrotem, který v písku kreslí stopu. 

Kyvadlo se pohybuje ve stále stejném směru vzhledem k hvězdám ve vesmíru, ale vůči Zemi rovinu kyvu mění, stopa v písku závisí na pootočení Země kolem své osy a zeměpisné šířce místa, kde je kyvadlo zavěšeno.

Úhel pootočení stopy hrotu kyvadla a je dán vztahem a=wt sinb, kde w je úhlová rychlost otáčení Země (360°/24 hod=15°/hod), t je čas a b zeměpisná šířka místa s kyvadlem. 

Zeměpisná šířka udává, na jaké rovnoběžce se místo nachází, to znamená, jaká je jeho úhlová vzdálenost od rovníku. Zeměpisná šířka rovníku je 0°, pro severní pól 90° (90° severní šířky) a pro jižní pól -90° (90° jižní šířky). Protože sin(0°)=0, na rovníku je a=0, a tedy stopa v písku je stále stejnou úsečkou, všude jinde se mění. Pro severní pól sin(90°)=1 a za 24 hod dojde k pootočení o 360° proti směru otáčení hodinových ručiček a pro jižní pól sin(-90°)=-1 se rovina kyvu otočí o 360° ve směru otáčení hodinových ručiček. V Pantheonu ve shodě s prvním vzorcem je perioda kmitu 16,5 sec a pro jeho zeměpisnou šířku 48,5° je sin(48,5°) přibližně roven 0,75, a tak k pootočení do stejné stopy jako v okamžiku spuštění kyvadla dojde vždy za přibližně 32 hod, za 1 hodinu se pootočí o 11°14’.    

Na následujícím snímku je vidět zlacená koule, představující srdce kyvadla, závěs je bohužel nezřetelný, stupnice na prstenci kolem středové desky umožňuje sledovat, jak se během dne mění pootočení stopy hrotu kyvadla. Druhá fotografie z většího odstupu ukazuje i kupoli. 

Slavný Foucaultův pokus lze jednoduše demonstrovat na laboratorním modelu kyvadla, které je upevněno na stole a kmitá nad rotujícím kruhem, simulujícím otáčení Země (anebo opačně kruh stojí a otáčí se stůl s kyvadlem). Stopa, kterou hrot zanechává, se liší podle toho, jestli je kyvadlo uvedeno do pohybu z vnější strany, anebo ze středu. V prvním případě hrot vykresluje hvězdicový vzor a v druhém případě květinový. 

Vše je vidět ve videu Katedry fyziky a astronomie Univerzity v Padově. 

A snad by se slušelo ukázat i klasicistickou budovu Pantheonu, kterou navrhl architekt Jacques-Germain Soufflot (1713-1780). 

Z pohřbených osobností alespoň Voltaire a náhrobky Victora Huga a Alexandra Dumase. 

Hugo jako jeden z mála byl pohřben přímo v Pantheonu, většinou byly ostatky uctívaných osobností sem přeneseny až mnoho let po jejich smrti, mezi nimi i architekt Soufflot a jako jediná žena Marie Curie-Sklodowská, která získala dvě Nobelovy ceny (za fyziku a chemii). 

A k Pantheonu úplně na závěr ještě pohled do interiéru na freskovou výzdobu.

Nejznámější konstrukcí Foucaultova kyvadla u nás je kyvadlo umístěné v barokní rotundě v Květné zahradě v Kroměříži. 

Rotundu postavil r. 1671 italsko-švýcarský architekt Giovanni Pietro Tencalla (1629-1702). Uprostřed ní je kamenný stůl pokrytý sklářským pískem a nad ním na 25 m dlouhé struně je zavěšeno 30 kg těžké srdce kyvadla. V r. 1908 jej zde instaloval profesor fyziky z kroměřížského gymnázia dr. František Nábělek.  

Protože zeměpisná šířka Kroměříže 49°18’ je podobná údaji pařížského Pantheonu, podobné jsou i časy pootočení, o 360° (a tedy do stejné stopy) se otočí za 31 hod 39 min a za jednu hodinu o 11°22’.

Aby rovina kyvu nebyla ovlivněna nevhodným spuštěním kyvadla, kyvadlo je ve výchozí poloze drženo lankem přivázaným ke sloupku a samo se spustí po přepálení lanka plamenem svíčky. 

Rotunda má bohatou výzdobu (sochy, fresky, obrazce na dlažbě, …) a je jí věnován výklad s průvodcem, ale to je již mimo téma textu, proto jen jeden záběr na strop s freskami.

Zámek se skvostnou galerií (je v ní i nejcennější obraz na našem území, Apollon trestá Marsya od Tiziana) a zahrady jsou od r. 1998 na seznamu UNESCO a zaslouží si samostatný článek.

P.S. Foucaultovo kyvadlo je také název druhého románu Umberta Eca (1932-2016), kde autor v historických událostech se snaží najít zákonitosti ve spiknutí tajemných řádů, které veškeré dění řídí podle Plánu.